Laccio-di-scarpa

laccio-di-scarpa

Laccio-di-scarpa

 

In un testo scolastico per le scuole superiori è descritto il metodo cosiddetto “laccio-di-scarpa” per calcolare l’area di un triangolo, note le coordinate cartesiane dei suoi vertici: P1, P2, P3.

Si scrive per prima cosa la seguente matrice rettangolare 4×2, disponendo le coordinate dei vertici

(l’ultima riga ripete la prima).

Poi si esegue il calcolo dei prodotti delle coppie di coordinate collegate dalle linee rosse, ossia:

x1y2, x2y3, x3y1 e si sommano i risultati ottenuti.

Si prosegue con analogo calcolo per le coppie collegate dalle linee blu.

L’area del triangolo è la metà del valore assoluto della differenza tra le due somme:

Area = | ( ( x1y2 + x2y3+ x3y1 ) – ( x1y2 + x2y3+ x3y1) ) | : 2

Del procedimento non viene però data alcuna dimostrazione.

La verifica analitica della validità generale del metodo è abbastanza semplice e la lasciamo al lettore. Ancora più intuitiva è la verifica geometrica che segue.

Senza perdita di generalità possiamo ricondurre qualsiasi triangolo ad avere un vertice nell’origine del piano cartesiano di riferimento.

                                                                                      Figura 1

Nella figura: a ciascuna coordinata vengono sottratti i valori delle rispettive coordinate di A; in tal modo A si pone nell’origine e il triangolo ABC trasla rigidamente in P1P2P3.

                                                                                  Figura 2

Il triangolo ottenuto può essere confinato in un rettangolo i cui lati, di colore rosso, si estendono tra minimo e massimo delle coordinate x e y dei suoi vertici, come illustrato in questa seconda figura.

Applicando il metodo del laccio-di-scarpa dobbiamo considerare che x e y di P1 sono nulli.

Il calcolo quindi si riduce a: | ( x2y3 – x3y2) | :2

                                                                                  Figura 3

In questa terza figura l’area del quadratino rosso vale x2y3 mentre l’area del rettangolo che circoscrive il triangolo vale x3y2.

Occorre quindi mostrare che l’area del triangolo è la metà dell’area di quanto resta del rettangolo di confinamento, avendo rimosso il quadratino rosso.

                                                                                   Figura 4

La superficie gialla ha area doppia del triangolo. ( così afferma il metodo laccio-di-scarpa).

Ora tracciamo l’orizzontale per il punto P3 e intersechiamo il lato P1P2 nel punto H. Per questo punto tracciamo la verticale.

                                                                                   Figura 5

Osserviamo il triangolo H P1P3 : spostando il vertice P1 lungo l’asse x, l’area resta invariata (stessa base e stessa altezza). Andiamo allora a collocare questo vertice nel punto K, sotto P2.

                                                                                    Figura 6   

Attenzione: l’area KHP2P3 è la medesima del triangolo P1P2P3 !

Semplifichiamo la figura rimuovendo le linee non più necessarie e aggiungendo il punto L …

                                                                                     Figura 7  

Notiamo che esistono tre coppie di triangoli a due a due uguali: a a’ , b b’ , c c’.

Questo significa che metà dell’area gialla corrispondente alla somma delle aree dei sei triangoli, fa parte della superficie del triangolo dato.

Resta da dimostrare che il sottile rettangolo giallo appoggiato sull’asse y, a sinistra, ha area identica

al rettangolo la cui diagonale è HK, appoggiato sull’asse x.

Se così fosse, l’area di HKL ( ultimo contributo per ricoprire l’area KHP2P3, equivalente al triangolo P1P2P3) sarebbe esattamente la metà di quella del sottile triangolo giallo ( ultimo contributo per ricoprire l’area gialla).

Riprendiamo la precedente figura 5, in cui appare il triangolo originale.

                                                                                   Figura 8  

Indichiamo con le lettere efgh le lunghezze dei lati dei due rettangoli: quello sottile avrà area fg, l’altro avrà area eh.

Il lato P1P2 del triangolo è la ipotenusa di un triangolo rettangolo il cui cateto minore misura g+h e quello maggiore misura e+f.

Vale la proporzione h:f = g:e , da cui ricaviamo immediatamente eh = gf

La equivalenza delle superfici dei due rettangoli è quindi dimostrata.

Ne consegue che l’area del triangolo P1P2P3 è esattamente la metà della superficie gialla, ossia la metà di | ( x2y3 – x3y2) | come si ottiene applicando il metodo laccio-di-scarpa.

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