Come Newton definì il numero “e”, numero di Nepero

Newton e la funzione esponenziale.

Forse pochi sanno che la funzione esponenziale di base e è stata definita in un modo particolare da Newton. Noi tutti oggi sappiamo che la derivata di e^{x}  è ancora e^{x}; questo ci basta per affermare che  soluzione dell’equazione differenziale:

Df(x)=f(x) (se il termine equazione differenziale può spaventare pensiamo in questo caso  semplicemente ad una equazione in cui l’incognita è una funzione la cui derivata è uguale alla funzione stessa) è proprio la funzione e^{x}. Questo  ci è stato insegnato alle superiori, ricavando le derivate fondamentali fra cui proprio quella di e^{x}, a cui ci si arriva tramite il limite fondamentale :

lim_{z \to 0}\frac{a^{z}-1}{z}=\ln (a)

essendo ln(e)=1 (logaritmo naturale) nel caso la base della potenza sia e , si ha:

lim_{z \to 0}\frac{e^{z}-1}{z}=\ln (e)=1

per calcolare la derivata di e^{x} basta scrivere il rapporto incrementale:

De^{x}=\lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{e^{h}-1}{h}\cdot e^{x}=1\cdot e^{x}=e^{x}

La soluzione dell’equazione non varia  se moltiplichiamo e^{x} per una costante, quindi la soluzione generica è f(x)=x_{0}\cdot e^{x}, dove x_{0} altro non è che il valore della funzione per x=0, essendo e^{0}=1, ovvero x_{0}=f(0).

Queste sono cose che sappiamo però oggi; ai tempi di Newton non si sapevano tutte queste cose sulla funzione esponenziale. Vediamo come procede invece Newton. Il suo problema è quello di risolvere l’equazione differenziale: Df(x)=f(x); ovvero trovare una funzione che sia uguale alla sua derivata.

E qui interviene il genio incomparabile  di  Newton: Definisce una funzione proprio così, tramite l’equazione differenziale !  Newton procede allora così; La funzione non può essere un polinomio , perchè quando si deriva un polinomio si abbassa di uno il grado (quindi la funzione non potrebbe essere uguale alla sua derivata); però possiamo pensare ad un polinomio infinito, ovvero a una serie. Ma continuiamo con il ragionamento di  Newton; la nostra soluzione sarà una certa funzione, ma ogni funzione (sotto determinate condizioni) può espressa come una serie del tipo:

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}

Le costanti c_{n} sono date dallo sviluppo di Taylor – Mc Laurin

c_{0}=f(0);c_{1}=Df(0);c_{2}=\frac{D^{2}f(0)}{2!};...; c_{n}=\frac{D^{n}f(0))}{n!} e questa è una cosa;

ma il fatto che la derivata della funzione coincida con la funzione stessa, provoca questa catena:

Df(x)=f(x)

D^{2}f(x)=Df(x)

D^{n+1}f(x)=D^{n}f(x) che porta a:

D^{n+1}f(x)=D^{n}f(x)=....Df(x)=f(x)

in particolare, se calcoliamo in zero le derivate successive, si ha:

D^{n+1}f(0)=D^{n}f(0)=....Df(0)=f(0);

tornando adesso ai coefficienti dello sviluppo, essendo c_{n}=\frac{D^{n}f(0)}{n!} ma essendo il valore della derivata n-esima indipendente da n ed uguale a f(0), otteniamo che c_{n}=\frac{f(0)}{n!}  qualsiasi sia n;( notiamo che f(0) è un valore arbitrario ,nei problemi di fisica è quello che si definisce valore iniziale). Quindi  possiamo , nella serie f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}; raccogliere f(0), ottenendo:

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}=f(0)\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}; bene allora definiamo :

e^{x}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} e di conseguenza, calcolando la funzione in 1:

e^{1}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1^{n}}{n!}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+....=e

quindi abbiamo anche definito il numero e, oltre a un metodo per calcolarlo.

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