Zenone, Achille e la tartaruga.**

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Per terminare (forse) con i paradossi di Zenone,  ho deciso di esporre anche il paradosso di Achille e la tartaruga, che riguarda sempre il movimento. Ho trovato in rete n enunciato quasi originale:

Achille, che possiamo presumere sia il corridore più veloce dell’antichità, sta correndo per catturare la tartaruga che si sta lentamente allontanando da lui. Entrambi si muovono lungo un percorso lineare a velocità costanti. Per catturare la tartaruga, Achille dovrà raggiungere il luogo in cui si trova attualmente la tartaruga. Tuttavia, quando Achille arriverà lì, la tartaruga sarà strisciata in una nuova posizione. Achille dovrà quindi raggiungere questa nuova posizione. Quando Achille raggiungerà quel luogo, la tartaruga si sarà spostata in un altro luogo, e così via per sempre. Zenone afferma che Achille non prenderà mai la tartaruga. Questo argomento mostra, egli crede, che chiunque creda che Achille riuscirà a catturare la tartaruga e che crede più in generale che il movimento sia fisicamente possibile è vittima dell’illusione.

In questo video, è spiegato molto bene cosa intende Zenone.

Infatti per percorre un certo spazio, Achille deve farlo in un tempo finito, visto che la velocità è finita. Ma questo procedimento si estende ad un numero infinito di ripetizioni, per cui devo sommare tutti questi tempi finiti, che daranno,per Zenone, un tempo infinito. Per cui Achille non raggiungerà mai la tartaruga.

Zenone assume che spazio e tempo siano infinitamente divisibili; non sono discreti o atomistici. Se lo fossero, l’argomento di questo paradosso non funzionerebbe.

La documentazione storica non ci dice quale di queste fosse la vera ipotesi di Zenone, ma che si parli di somma di tempi o di somma di spazi, esse vengono entrambi facilmente confutate dalla matematica “moderna”.

Consideriamo il caso degli spazi. Presumibilmente Zenone difenderebbe questa ipotesi osservando che ci sono un’infinità di sottodistanze coinvolte nella corsa di Achille, e la somma delle sottodistanze è un infinito effettivo, che è una distanza eccessiva anche per Achille. Ecco un grafico che utilizza i metodi cinematici ,che mostra Achille mentre insegue la tartaruga e la supera.

Per facilità di comprensione, si presume che Zenone e la tartaruga siano masse puntiformi o particelle infinitesimali, ciascuna che si muove a una velocità costante (cioè una velocità costante in una direzione). Il grafico mostra il fatto che il percorso di Achille è un continuo lineare e quindi è composto da un’effettiva infinità di punti. La retta di Achille è maggiormente inclinata nel grafico spazio-tempo, quindi le due rette essendo composte da un infinità continua di punti, dovranno incrociarsi in qualche punto. Conoscendo i dati iniziali, ovvero il vantaggio della tartaruga e le rispettive velocità,il problema è facilmente risolvibile da un ragazzo delle superiori anche quantitativamente.

Un pò più difficile da confutare, è il discorso dei tempi. Detto  a parole, è sbagliata in  generale l’affermazione che la somma di infiniti termini debba per forza dare infinito. I tempi infatti diminuiscono molto più velocemente di quanto aumenti il loro numero. Ma bisogna fare i calcoli, per rendersene conto.

La tartaruga, parte con un vantaggio L0, e una velocità Vt<Va (velocità tartaruga e velocità Achille)

Achille impega un tempo t0=L0/va per arrivare alla posizione iniziale della tartaruga. Ma nel frattempo, la tartaruga si è spostata di uno spazio L1=t0*vt. Achille arriverà a percorrere lo spazio L1 in un tempo t1=L1/va=t0*Vt/Va; poniamo adesso d=Vt/Va. Il tempo totale, fino ad ora, è dato da T=t0+t1=to+t0*d. Ma andiamo avanti. Nel tempo t1 la tartaruga si sposterà dello spazio L2=t1Vt. Il tempo t2 impiegato per raggiungere la tartaruga, sarà dato da t2= L2/Va; ma L2=t1*vt, quindi t2=t1*Vt/vA=t1*d. Andiamo avanti; è facile verificare che t3=t2*d. Possiamo sostituire “ricorsivamente” nei tempi calcolati, ottenendo:

 

t_{1}=t_{0}d

t_{2}=t_{1}d=t_{0}d^{2}

t_{3}=t_{2}d=t_{0}d^{3}

.

.

.

t_{n}=t_{n-1}d=t_{0}d^{n-1}

 

(potete verificare  il tutto continuando a calcolare t3,t4, ecc. Chi se la sente può usare il principio di induzione.

Ma che ne è del tempo totale?

T=t0+t1+t2+t3+…..

 

T=t_{0}(1+d+d^{2}+d^{3}....d^{n})=\frac{L_{0}}{v_{a}}(1+d+d^{2}+d^{3}....d^{n})

essendo t0=L0/Va.

Noi dimostreremo quanto vale tale somma infinita usando solo un pò di algebra delle superiori e un pò di buon senso, senza parlare delle serie geometriche che riguardano l’analisi matematica. Chi ha voglia può verificare l’identità:

(1-x)(1+x+x^{2}+....x^{n})=1-x^{n+1}    1)

i più pratici possono farlo usando il principio di induzione;

chi è spaventato dalla generalità di n può provare con n=3,4,5,ecc.

ma se è vera la 1) allora la somma dei primi n termini è data da:

(1+x+....x^{n})=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}

che si ottiene dalla 1) dividendo ambo i membri per (x-1),supponendo x<>1

Ma allora, sostituendo a x , d otteniamo:

(1+d+d^{2}....+d^{n})=\frac{1-d^{n+1}}{1-d}

ora, il nostro n diventa arbitrariamente grande, ovvero in linguaggio matematico tende a infinito. Cosa ne sarà del secondo membro?

d è un numero minore di uno (d<1). ma allora se n diventa sempre più grande, d^{n+1} diventerà sempre più piccolo, al limite sarà uguale a zero. Quindi il termine d^{n+1} scomparirà dal secondo membro della formula, che diventerà:

(1+d+d^{2}....+d^{n})=\frac{1}{1-d}

in definitiva avremo:

T=t_{0}(1+d+d^{2}....+d^{n})=\frac{L_{0}}{va}\frac{1}{1-d}=\frac{L_{0}}{v_{a}-v_{t}}

che è un termine finito e ben determinato dai valori iniziali del dilemma (L0,Va,Vt).

 

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Romeo Ceccato
1 mese fa

Bello pensare ce ci sia un numero di infiniti differenti tra loro…. alcuni con risultati finiti e alcuni no! …. e poi dicono che la matematica non ha romanticismo!