RM 7): La contrazione delle lunghezze longitudinali. ***

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Premessa

In questo articolo vedremo di dare spiegazione alla arcinota contrazione delle lunghezze di corpi in movimento. Lo faremo usando le trasformazioni di Lorentz, che sono una diretta conseguenza della costanza della velocità della luce. Nessun mistero; in realtà il fenomeno che si misura è solo apparente, ed è visto solo dal sistema in movimento. Il fatto di aver scelto la via delle trasformazioni di Lorentz, semplifica di molto la dimostrazione dei fatti principale che riguardano la RR. Chi è non è in grado di seguire i calcoli fatti nella parte 6) può semplicemente prenderli per buoni. I calcoli che troverete in questo articolo riguardano delle semplici equazioni di 1° grado.

La contrazione delle lunghezze longitudinali

In questo articolo trattiamo la contrazione delle lunghezze longitudinali, scoperta già da Fitzgerald nel 1895 per spiegare l’esperimento nullo di Michelson e Morley. Nella visione di fine secolo, la contrazione era attribuita a un fenomeno fisico di natura elettromagnetica dovuto al moto relativo del corpo rigido rispetto all’etere. Nell’interpretazione di Einstein, invece, dove l’etere è scomparso,
questo effetto è una conseguenza immediata della definizione del processo di misura e del postulato di invarianza della velocità della luce. Insomma, dobbiamo abituarci a vederlo come qualcosa di connaturato nella definizione di lunghezza. Come al solito, non c’è niente da capire ; è solo una conseguenza delle trasformazioni di Lorentz.

Definizione di lunghezza.

Consideriamo un corpo rettilineo. Chiameremo lunghezza propria di un regolo la distanza fra gli estremi misurata da un osservatore per cui il regolo è in quiete relativa. Chiameremo lunghezza relativa la lunghezza del regolo rispetto ad ogni osservatore che vede il regolo in moto. Bisogna ricordare che la misura di una lunghezza presuppone una misura di tempo: la lunghezza di un corpo è infatti per definizione la distanza tra le posizioni assunte dagli estremi allo stesso istante nel giudizio dell’osservatore che misura il regolo. Ci permettiamo di sottolineare come quel “allo stesso istante” sia il punto cruciale: se teniamo presente bene questa idea, non troveremo alcun carattere paradossale nella contrazione delle lunghezze longitudinali In altre parole, la lunghezza di un regolo è la distanza spaziale tra due eventi simultanei. Il diagramma spaziotemporale del processo di misura delle lunghezze di un corpo in moto è quindi quello riportato in figura:

gli estremi del regolo solidale con il sistema in movimento descrivono due rette parallele nello spazio tempo.

 

Prendiamo adesso un regolo AB’ di lunghezza unitaria, ovvero AB’=1 per semplicità. I regoli di lunghezza qualsiasi si ottengono come multipli dell’unità, chiaramente.

Il sistema (x’,t’) è quello stazionario rispetto a regolo AB’, infatti il regolo è in moto   rispetto a (x,t). Noi dobbiamo misurare , dal nostro punto di vista, la lunghezza AB che altro non è che un istantanea del regolo (come diceva Einstein) all’istante t=0. Qui abbiamo due rette; la retta x’=0, che viene determinata nel sistema (x,t) dall’equazione x-vt=0; questo fatto si vede formalmente applicando la parte spaziale delle equazioni di Lorentz, 

x=γ(xvt)

 infatti se x’=0, x-vt=0.

Allo stesso modo, la retta x’=1  si può ottenere usando lo stesso metodo;  

x=1=γ(xvt)

,ed esplicitando

x(t)=vt+1/γ

Dunque, la retta x’= 1, letta nel sistema dell’osservatore stazionario (x,t) attraversa l’asse delle x, in cui t=0, nel punto di ascissa 

1/γ<1

(ricordiamoci che 

\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}}}

, se manteniamo la nostra convenzione di scegliere c=1)

 La lunghezza del regolo in movimento è quindi minore del regolo stazionario. Quanto fatto finora è una banalissima conseguenza delle trasformazioni di Lorentz. Si può dire che l’osservatore mobile K’ dispone di un proprio regolo con cui fissa le ascisse lungo il suo asse x’, e che l’ascissa x’ = 1 definisce l’estremo destro del regolo, il cui estremo sinistro ha invece ascissa x’ = 0. I moti degli estremi del regolo di K’ sono rappresentati da due rette dello spaziotempo che vengono lette in K’ come le due rette x’= 0, x’ = 1. Le stesse rette dello spaziotempo sono lette in K  come la retta x – vt = 0 e (lo abbiamo appena mostrato) la retta

1=γ(xvt)

Qui entra in gioco la non assolutezza della contemporaneità. L’osservatore K vede il sistema mobile K’ passare davanti a lui, e decide di fotografarlo, facendo, come dice Einstein nella esposizione divulgativa, una istantanea. Ovvero, registra le ascisse degli estremi del regolo mobile (solidale con l’osservatore mobile) a un suo proprio tempo, ad esempio t = 0. Considera quindi due eventi (punti dello spaziotempo), rispettivamente A = (estremo sinistro del regolo mobile al tempo t = 0) e B = (estremo destro del regolo mobile al tempo t = 0). Dunque si tratta di due eventi sull’asse delle x di K (istantanea in K), e per quanto visto sopra le corrispondenti ascisse sono rispettivamente

xA = 0

xB=1/γ<1

 In questo senso, la lunghezza del regolo mobile appare contratta nel sistema stazionario K. Naturalmente, si verifica subito che, in maniera del tutto simmetrica, il regolo unitario di K appare contratto per l’osservatore mobile K’, esattamente dello stesso fattore 

1/γ

non c’è infatti nulla da dimostrare, vista la relatività del moto, e il fatto che entrambi i sistemi sono inerziali. Nella realtà del sistema che lo contiene il regolo rimane lungo  quello che è, chiaramente. E’ la misura dal sistema in moto, che a causa della finitezza della velocità della luce, viene sfalsata.

Ricordiamo appunto che per Einstein questa contrazione non è effettiva; è solo l’effetto di una misurazione effettuata su un corpo in movimento, ed è causata dalla limitatezza e dalla costanza della velocità della luce. Sappiamo che Fitzgerald supponeva un motivazione più realistica, e vedremo che anche Bell, col suo celebre paradosso che concepì durante un pasto alla mensa del laboratorio di ricerca, non fu dello stesso avviso di Einstein. Non lo presento ora per non fare confusione. Vedremo invece come un famoso paradosso, quello delle macchina nel garage, invece che portare scompiglio nella relatività servirà a chiarire meglio il concetto di contrazione.

 

QUI gli articoli dedicati alla “Relatività Matematica”

QUI gli articoli dedicati ai protagonisti, più o meno conosciuti, che hanno tracciato il sentiero percorso da Einstein verso la Relatività

Per approfondire la conoscenza della Teoria della Relatività, si consiglia QUESTA SEZIONE del blog L’Infinito Teatro del Cosmo

 

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