RM6) L’invarianza dell’intervallo spazio temporale.

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La geometria dello spazio tempo  ha delle similitudini con la geometria usuale. Si dice spesso, a riguardo della relatività, che tutto è relativo. Non cè niente di più inesatto; la relatività è alla ricerca degli invarianti, ovvero delle grandezze che non dipendono dal sistema di riferimento. E’ vero che le coordinare spazio temporali di un evento non coincidono nei diversi sistemi di riferimento inerziali, come è vero che non coincidono le coordinate di un punto in diversi sistemi di coordinate che rappresentano lo stesso spazio Euclideo. Però, sappiamo che la distanza fra due punti  è invariante, ossia non dipende dal sistema di coordinate prescelto, quando passiamo da un  sistema all’altro. Chiaramente il movimento di trasformazione deve essere rigido. Prendiamo ad esempio una rotazione; se il piano è riferito a coordinate cartesiane ortogonali x; y, e si passa a coordinate cartesiane ortogonali x’; y’ relative ad assi ruotati di un angolo \alpha, tramite le trasformazioni:

allora è immediato verificare che:

dove i due membri dell’eguaglianza rappresentano la distanza di un punto dalle comuni origini.

Infatti:

Se noi adesso per analogia , in un sistema di riferimento inerziale, consideriamo la quantità:

possiamo pensare ad essa come ad una distanza spaziotemporale. Lo chiameremo appunto “intervallo spazio temporale”. Risulta allora, che tale intervallo è invariante per trasformazioni di Lorentz:

c^{2}t^{2}-x^{2}=c^{2}t^{'2}-x^{'2}

Ricaviamolo direttamente per  sostituzione. Ricordiamo le trasformazioni di Lorentz:

Calcolando il quadrato di ct’ e di x’ nelle formule che esprimono la trasformazione
di Lorentz e sottraendo, il doppio prodotto si elimina. Raccogliendo si
ottiene :

 

La distanza così definita non è proprio una distanza; a causa di quel segno meno nella formula, non è sempre positiva. Vista l’analogia con il caso Euclideo, i matematici videro nelle trasformazioni di Lorentz , una rotazione, che però non è una normale rotazione, ma una rotazione detta iperbolica. Tale nome deriva dal fatto che le trasformazioni di Lorentz possono essere scritte mediante le funzioni iperboliche.

 

QUI gli articoli dedicati alla “Relatività Matematica”

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Per approfondire la conoscenza della Teoria della Relatività, si consiglia QUESTA SEZIONE del blog L’Infinito Teatro del Cosmo

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