RM 5): Le trasformazioni di Lorentz

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Qui esponiamo i risultati matematici della relatività ristretta , derivanti solo da tre  importanti principi fisici ;

  1. la costanza della velocità della luce (esperimento di Michelson e Morley)
  2. il principio di relatività (PR)(Le leggi fisiche sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali.)
  3.  l’isotropia dello spazio ( per dirlo con le parole di Einstein, l’isotropia è la proprietà dell’indipendenza dalla direzione, da parte di una grandezza vettoriale definita nello spazio)

Non cercherò in alcun modo di introdurli, dandoli per noti da tutti. Questo non è un articolo divulgativo; consideratelo un approfondimento dedicato a chi conosce già i  concetti base della RR.

Tutto il resto, proverrà da conseguenze logico-matematiche di questi due principi. 

 

Il tempo nei sistemi di riferimento

La costanza della velocità della luce, implica la caduta del concetto assoluto di contemporaneità. Ovvero, due eventi che sono contemporanei in un sistema di riferimento, non lo sono in un altro in movimento con velocità costante rispetto al primo. Vediamolo subito usando la costanza della velocità della luce. Per semplicità, consideriamo il caso in cui si trascurano le coordinate y e z, sicchè lo spaziotempo si riduce al piano con coordinate

(x,t) e (x’,t’).

l’asse t’ (ovvero x’ = 0) viene letto in K come la retta x – vt = 0; y = 0; z = 0, se v è la velocità di K’ rispetto a K

(Ammettiamo che l’origine spaziale di K’ trasli lungo l’asse delle x di K, che i due
assi x e x’ siano sovrapposti, e che (ct, x) = (0,0) corrisponda a (ct’, x’) =(0,0), e dunque l’origine spaziale di K’ compia il moto x(t) = vt.

Consideriamo un segnale luminoso emesso nel punto (t, x) =(0; 0) di K. Per  K, ad ogni suo tempo t il fronte d’onda è  costituito dai due punti dello spaziotempo P e Q aventi la medesima ordinata t e ascisse rispettivamente x = +ct; x = -ct. Questi sono punti simmetrici rispetto al punto{evento O (dello spaziotempo) di ordinata t e di ascissa x = 0 rispetto all’osservatore stazionario K, visto al tempo t).

Ma nel frattempo l’osservatore K’ si è mosso  lungo l’asse x, e al tempo t di K l’origine spaziale di K’ ha rispetto a K coordinata spaziale vt cioè si trova nel punto
O. Quindi, se la retta t’= cost, letta nel sistema K, coincidesse con la retta t = cost, il fronte d’onda  sarebbe asimmetrico rispetto ad O’, ovvero la luce si propagherebbe nelle due direzioni (destra e sinistra) con velocità diverse. Si potrà avere costanza della velocità della luce solo se la retta t’ = cost viene letta in K non come una retta

t = cost, ma come una retta passante per O’e inclinata in maniera tale che i due punti P’;Q’ in cui essa incontra le bisettrici di K (cono di luce, luogo dei punti  x – ct = 0, x + ct = 0) sono simmetrici rispetto a O’.

Vediamo adesso  che risulta che la retta t’ = cost deve essere letta in K come una retta inclinata rispetto all’asse x (verso la bisettrice del primo quadrante, nel caso v > 0)) esattamente nello stesso modo in cui la retta x’ = 0 è inclinata (verso la stessa bisettrice) rispetto all’asse t (se c = 1).

 

 

Si ha infatti:

e pertanto segue

Infatti:

  perchè la loro somma dà la bisettrice del 1° quadrante;abbiamo poi riportato l’angolo γ tracciando la parallela all’asse x passante per Q’; il sigma rosso è l’opposto al vertice di σ, quindi

γ +σ=45°;

il triangolo P’ΩQ’ è rettangolo in Ω ; abbiamo poi preso O’ come punto medio di PP’, quindi ΩP’AQ’

è un rettangolo e P’Q’ e  ΩA sono le diagonali, pertanto

sostituendo adesso  nelle

otteniamo proprio:

Le trasformazioni di Lorentz

Seguendo adesso quanto detto sopra, siamo in grado di ricavare delle trasformazioni di coordinate da K a K’ (e viceversa). Usando la costanza della velocità della luce, abbiamo visto che l’asse dei tempi di K’ deve essere inclinato rispetto alla bisettrice dello stesso angolo dell’asse spaziale di K’:

 

Se la retta x’=0 ha equazione x-vt=0, allora la retta t’=0 deve avere equazione (t – vx)=0 (i due coefficienti angolari risultano uno  l’inverso dell’altro). Le trasformazioni  devono essere lineari; Infatti, per definizione, nei sistemi inerziali i moti dei punti non soggetti a forze sono rettilinei uniformi, ovvero sono rappresentati da rette sia nello spazio  con coordinate (t; x; y; z) sia nello spazio con coordinate (t’; x’; y’; z’). Dunque la proprietà di inerzialità dei due sistemi si traduce nella condizione che la trasformazione da K a K’, dovendo mandare moti rettilinei uniformi in moti rettilinei uniformi, deve mandare rette in rette. Quindi, per una proprietà generale delle trasformazioni tra spazi lineari, essa è necessariamente lineare, e quindi  sarà rappresentata da una certa matrice L:

con 

 

mentre la trasformazione  sarà data dall’usuale prodotto righe per colonne:

tx=Ltx

(Parentesi; non posso in questa sede spiegare cosa sono la applicazioni lineari e le matrici, nè fare un articolo a parte di questa serie su tali oggetti che fanno parte della , peraltro noisa, algebra lineare. Chi non sa, prenda per buono questi due concetti; applicazioni lineari e matrici sono praticamente la stessa cosa , una volta fissato un sitema di coordinate. L’applicazone lineare manda rette in rette, che è proprio quello che ci richiede l’equivalenza fra sistemi inerziali, mentre per trasformare un vettore contraddistinto da una terna o da una coppia, basta eseguire l’usuale prodotto righe per colonne della matrice per il vettore. Nella pratica, basta moltiplicare la riga della matrice componente per componente per la colonna del vettore, e sommare tali termini. Qui è spiegato molto sinteticamente.)

Ci proponiamo adesso di trovare la relazione che intercorre fra i coefficienti della matrice L e l’unico parametro che contraddistingue la trasformazione, ovvero la velocità v relativa fra i due sistemi inerziali. Da quanto visto sopra, sappiamo che le rette x-vt=0, (t – vx)=0 devono essere mandate  nelle rette x’=0, t’=0; Essendo la trasformazione lineare, ciò è possibile solo se:

ove a e b sono  da determinare, in funzione di v. Infatti, per il prodotto righe per colonne si deve avere una trasformazione di questo tipo:

x’=ax+ct

ma deve essere anche 0=x-vt sulla retta x’=0

dunque ax+ct=0; raccogliendo a, a(x+t*c/a), c/a=-v, x’=a(x-vt)

analogamente si prova per:

t’=bt+dx.

Trasformando le equazioni sopra in prodotto di vettori per matrici, si ricava che la matrice della trasformazione di due sistemi con velocità v è espressa da:

dobbiamo adesso usare il principio di relatività, che non abbiamo usato finora. 

Sostanzialmente, il principio di relatività esprime questo concetto: i due osservatori sono equivalenti, e la trasformazione inversa coincide con quella diretta, in cui è il secondo osservatore che vede il primo traslare con velocità −v. In termini di matrici, ciò si traduce così:
ma:
si tratta adesso di trovare l’inversa di e imporre l’eguaglianza. Per trovare  l’inversa di una matrice quadrata di ordine 2, si procede con il metodo dei cofattori, che sintetizzo direttamente nel risultato:

 

possiamo adesso eguagliare uno per uno i termini delle due matrici. Si ottiene:

 

quindi, in entrambi i casi:

e inoltre:

-av=-bv; -bv=-av da cui a=b

 

Riprendendo le  due equazioni:

otteniamo :

che sono le famose trasformazioni di Lorentz  nel caso più semplice di una sola coordinata spaziale.

 

QUI gli articoli dedicati alla “Relatività Matematica”

QUI gli articoli dedicati ai protagonisti, più o meno conosciuti, che hanno tracciato il sentiero percorso da Einstein verso la Relatività

Per approfondire la conoscenza della Teoria della Relatività, si consiglia QUESTA SEZIONE del blog L’Infinito Teatro del Cosmo

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romeo
2 mesi fa

…un piattino piuttosto difficile da digerire … ma direi alquanto gustoso…