IL PARADOSSO DELL’IPERALBERO 2/2. PARTE SECONDA:IL PARADOSSO **

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Dopo aver definito  in questa prima parte  cos’è un albero, vediamo il paradosso. Il paradosso non riguarda però proprio un albero, ma un qualcosa di più grande, un iperalbero.

Cos’è  un iperalbero?

Nel primo articolo , abbiamo definito come ben fondato, un albero  che non ha cammini infiniti. In questo caso, partendo da un nodo padre qualsiasi , prima o poi la discendenza si blocca.

Consideriamo l’insieme B di tutti gli alberi ben fondati (che può chiaramente anche essere infinito).

schematizziamo un albero ben fondato con dei triangoli di vario colore. C1,C2,…Cn sono i capostipiti di tali alberi.

Costruiamo, partendo da essi, un nuovo albero ; Prendiamo un nuovo nodo R, e facciamo in modo che i capostipiti  C1,C2,…Cn siano  figli del nodo R. Otteniamo in questo modo un nuovo albero, la cui radice è R, e che contiene come sottoalberi gli alberi di B. Chiamiamo tale albero così costruito iperalbero. Ogni albero ben fondato ha dunque una copia tra i sottoalberi dell’iperalbero. Eccoci arrivati a:

Il paradosso dell’iperalbero.

Ricordo prima  un risultato fondamentale del  primo articolo:

  1. Se un albero contiene una copia di se stesso come sottoalbero, allora non è ben fondato.

Poichè ogni cammino nell’iperalbero va a finire, dopo un passo, in uno dei suoi sottoalberi (che sono ben fondati), ne segue che l’iperalbero è ben fondato. Ma se è ben fondato, una copia dell’iperalbero deve comparire come uno dei sottoalberi di se stesso. Tuttavia un albero che contiene una copia di se stesso come sottoalbero non può essere ben fondato , come visto in nel primo articolo, il che è un paradosso.

Come detto nel primo articolo, questo paradosso è la versione geometrica  del paradosso di Russel, che però noi abbiamo in un certo modo risolto, costruendo nuovi assiomi nella teoria degli insiemi.

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