Zenone: il paradosso della Divisibilità infinita.

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Continuiamo con Zenone, passando dai paradossi che riguardano il movimento (paradosso della freccia e quello della dicotomia) ad un’altra serie di paradossi; quelli detti della pluralità. Qui la matematica c’entra poco, a parte il concetto di misura e di coordinate.

L’ammissione della pluralità  (cioè che esistono molte cose), implica assurdità. Vedremo il paradosso considerato come quello più impegnativo di questa serie, quello della divisibilità infinita.

L’enunciato del paradosso.

L’ammissione dell’esistenza di una pluralità di cose, porta ad un assurdo se cerchiamo di dividerle.

Supponiamo he un oggetto teoricamente possa essere diviso in una pluralità di parti. Secondo Zenone, c’è un problema nel cercare di ricomporle.

Immaginiamo di tagliare l’oggetto in due parti non sovrapposte, quindi di tagliare in modo simile queste parti in parti e così via fino al completamento del processo di divisione ripetuta. Supponendo che l’ipotetica divisione giunga al termine, alla fine arriviamo a quelli che Zenone chiama “gli elementi”. Qui c’è un problema di rimontaggio.

Ci sono tre possibilità.

 (1) Gli elementi non sono niente. In quel caso gli oggetti originali saranno un composto di nulla, e quindi l’intero oggetto sarà una mera apparenza, il che è assurdo. 

(2) Gli elementi sono qualcosa, ma hanno dimensione zero. Così, l’oggetto originale è composto da elementi di dimensione zero. L’aggiunta di un infinito di zeri produce una somma zero, quindi l’oggetto originale non aveva dimensioni, il che è assurdo. 

(3) Gli elementi sono qualcosa, ma non hanno dimensione zero. Se è così, questi possono essere ulteriormente divisi e il processo di divisione non è stato completato,  il che contraddice la nostra ipotesi che il processo fosse già completo. Quindi dobbiamo procedere come in 2) o 1) e continuare la nostra divisione all’infinito.

In sintesi, c’erano tre possibilità, ma tutte e tre le possibilità portano all’assurdità. Quindi, gli oggetti non sono divisibili in una pluralità di parti.

Innanzi tutto dovremmo prima chiedere a Zenone di essere più chiaro su ciò che sta dividendo. 

È  un qualcosa di concreto o astratto? Si tratta di materia o di enti  geometrici? Se parliamo di materia dobbiamo rivolgerci alla fisica, che però ai tempi non dava risposte adeguate. Quando si divide un materiale concreto nelle sue componenti, si raggiungono i costituenti ultimi della materia che non possono essere ulteriormente suddivisi. Questi hanno una dimensione, oppure una dimensione zero , ma non è corretto concludere che l’oggetto che abbiamo diviso non ha dimensione se i suoi componenti hanno dimensione zero. Sappiamo che nella materia esistono diversi spazi vuoti, tipo quello fra elettrone e nucleo, tenuti insieme da forze di attrazione, repulsione e movimento. Quindi, Zenone  ha torto.

E se invece Zenone  dividesse un percorso o traiettoria, ovvero qualcosa di geometrico?  In tal caso, il caso(2) sopra è quello su cui ragionare.

“Gli elementi sono qualcosa, ma hanno dimensione zero. “

È quello che parla dell’addizione di zeri. Supponiamo che l’oggetto sia unidimensionale, come un segmento. Secondo il buon senso questo “oggetto” che viene diviso dovrebbe essere considerato un continuum con i suoi elementi disposti in ordine nel continuo lineare, e dovremmo usare la nozione contemporanea di misura per trovare la dimensione dell’oggetto. La dimensione (lunghezza, misura) di un elemento (punto in questo caso) è zero, ma Zenone si sbaglia nel dire che la dimensione totale (lunghezza, misura) di tutti gli elementi di dimensione zero è zero*. Possiamo pensare di prendere una retta orientata, con una coordinata, che contenga il segmento. La dimensione dell’oggetto è determinata dalla differenza nei numeri di coordinate assegnati ai punti finali dell’oggetto. Un oggetto che si estende lungo una linea retta che ha uno dei suoi punti finali a un metro dall’origine e un altro punto finale a tre metri dall’origine ha una dimensione di due metri e non zero metri. Quindi, non vi è alcun problema di rimontaggio (basta mettere i punti nella posizione sulla retta da cui sono  stati presi).

In realtà , la risposta dal punto di vista matematico potrebbe essere più complessa. Cantor dimostrò che, per esempio, i punti di un segmento, ad esempio [0,1] sono infiniti, ma non sono un infinità numerabile, bensì hanno la potenza del continuo. Da questo non succede niente di strano, nel pensare che la loro unione (punti di dimensione nulla) dia il segmento stesso. Naturalmente i risultati di Cantor si fondano sulla continuità del campo reale, dovuta  a Dedekind.

 

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