Zenone :il paradosso della freccia

Premessa

Si continuano  a scrivere fiumi di parole sul paradosso della freccia, come su quello di Achille e la tartaruga. I filosofi continuano a dare forse una eccessiva importanza a questi due paradossi, anche se recentemente è stato rivalutato il pensiero di Zenone e collegato alle teorie quantistiche. Betrand Russel diceva che le domande passano dalla filosofia alla scienza, man mano che il sapere progredisce. Questo non sembra succedere in questo caso; ad ogni modo solo se si fissano degli assiomi  sulla continuità di spazio e tempo e ci si affida alla fisica Newtoniana, si può venirne fuori agevolmente.

Il paradosso  della freccia

Nel V secolo A.C. , Zenone di Elea scrisse cose al di fuori del senso comune che portano a conclusioni che cercano di contraddire ciò che tutti sappiamo dalla nostra esperienza fisica. Per noi  i corridori corrono,  le frecce volano .. invece..

Le argomentazioni di Zenone   furono proposte agli antichi filosofi greci.  Zenone propose 10 paradossi; Il più noto è quello di  Achille e la tartaruga. Noi, per essere originali, cominciamo da quello della freccia, essendo quello della tartaruga molto inflazionato.

Il paradosso della freccia non è molto intuitivo; anzi può far sorridere chi ha delle normali concezioni di tempo e di spazio, e una cultura matematica di base. Ma Zenone non era certo stupido; per capire cosa intendesse bisogna sapere da quali presupposti partisse, ovvero quali fossero le sue nozioni di spazio e di tempo.  Chiaramente, se si parte da presupposti sbagliati, si arriva inevitabilmente a conclusioni errate.

Lo Spazio di Zenone

Per Zenone,  lo spazio è infinitamente divisibile; preso un segmento, è sempre possibile dividerlo a metà. Quindi, possiamo dividerlo indefinitamente, avendo alla fine sempre dei segmenti di lunghezza finita, anche se piccoli a piacere. Lo spazio è perciò quello che per noi rappresenta un continuo.

Il tempo di Zenone

Diversa invece è la concezione di tempo; il tempo è sì divisibile, ma è concepito come una successione di istanti di lunghezza nulla; il singolo istante è indivisibile, anche se infiniti istanti compongono quello che potremmo definire un intervallo di tempo. Il tempo è per Zenone non un continuo, ma un qualcosa che i matematici chiamano discreto. (Qui già potete subito vedere la contraddizione con i risultati esposti nell‘insieme di Cantor, composto da infiniti punti che però sommati danno una misura nulla).

Veniamo dunque al paradosso di Zenone:

Come distinguere una freccia che è ferma nello spazio da una che sta volando nello spazio,se guardi solo un’istantanea (una foto istantanea) di loro? C’è qualche differenza? Come spiega Aristotele, dal “presupposto che il tempo è composto da momenti” , una freccia in movimento deve occupare uno spazio uguale a se stessa in qualsiasi momento. Cioè, durante ogni momento o istante indivisibile è nel luogo in cui si trova. Ma i luoghi non si muovono. Quindi, se in ogni momento la freccia occupa uno spazio uguale a se stessa, allora la freccia non si muove in quel momento. Il motivo per cui non si muove è che non ha tempo per muoversi; è semplicemente lì sul posto. Non può muoversi durante il momento perché quel movimento richiederebbe un’unità di tempo ancora più piccola, ma il momento è indivisibile. Lo stesso ragionamento vale per qualsiasi altro momento durante il cosiddetto “volo” della freccia. Quindi, la freccia non si muove mai. Con un argomento simile, Zenone può stabilire che nient’altro si muove. La fonte dell’argomentazione di Zenone è Aristotele ( Fisica , libro VI, capitolo 5, 239b5-32).

 

La soluzione standard al paradosso

La “soluzione standard” al paradosso della freccia richiede  la nostra attuale conoscenza del calcolo della velocità istantanea . Questa teoria definisce il movimento istantaneo, cioè il movimento in un istante, senza definire il movimento durante un istante. Questo nuovo trattamento di movimento nasce con Newton e Leibniz nel XVI secolo, e impiega quella che viene chiamata la teoria del  movimento, che dice il movimento è in corso in luoghi diversi in momenti diversi. Il movimento non è una caratteristica che si rivela solo in un momento. La differenza moderna tra riposo e movimento, in contrasto con la differenza nell’antichità, ha a che fare con ciò che sta accadendo nelle vicinanze dei momenti e – contro Zenone – non ha niente a che fare con ciò che accade in un momento.

Alcuni ricercatori hanno ipotizzato che il paradosso della freccia sia stato progettato da Zenone per attaccare il tempo e lo spazio discreti piuttosto che il tempo e lo spazio continui. Questo non è chiaro e la soluzione standard funziona per entrambi. Cioè, indipendentemente dal fatto che il tempo sia continuo e l’istante di Zenone non abbia una durata finita, o che il tempo sia discreto e l’istante di Zenone duri, diciamo, 1/100000000000000000 di secondo, non c’è tempo sufficiente perché la freccia si muova durante l’istante. Tuttavia, indipendentemente dalla durata dell’istante, può ancora esserci movimento istantaneo, vale a dire movimento in quell’istante, a condizione che l’oggetto si trovi in ​​un luogo diverso in un altro istante.

Per sottolineare nuovamente questo punto cruciale, si noti che sia Zenone che i fisici matematici del 21 ° secolo concordano sul fatto che la freccia non può essere in movimento entro  o durante un istante (un tempo istantaneo), ma i fisici faranno notare che la freccia può essere in movimento in un istante nel senso di avere una velocità positiva in quell’istante (la sua cosiddetta velocità istantanea), purché la freccia occupi posizioni diverse in momenti precedenti o successivi a quell’istante in modo che l’istante faccia parte di un periodo in cui la freccia è continuamente in movimento. Se non prestiamo attenzione a ciò che accade negli istanti vicini, è impossibile distinguere il movimento istantaneo dal riposo istantaneo, ma distinguere i due è la via d’uscita dal paradosso della freccia. Zenone si sarebbe opposto all’idea del movimento in un istante, e Aristotele lo negò esplicitamente.

Il paradosso della freccia è confutato dalla soluzione standard con la sua nuova teoria del moto, ma il paradosso sembra particolarmente forte a qualcuno che preferirebbe invece dire che il movimento è una proprietà intrinseca di un istante.

Non si può parlare di movimento se non si parla di velocità; la spiegazione matematica.

Questo finale è dedicato a chi ha le basi sufficienti del calcolo differenziale.

Nel calcolo  introdotto da Newton e  Leibniz, si dà la definizione  di velocità media come rapporto fra spazio percorso/tempo impiegato;

vm=S/t

si estende poi questo concetto a quello vero e proprio di velocità, cioè alla velocità istantanea, ovvero allo stesso rapporto quando questi intervalli di spazio e tempo diventano infinitamente piccoli:

v=dx/dt. 

Con tale simbolismo indichiamo la derivata dello spazio rispetto al tempo. Il paradosso viene automaticamente smontato da questa definizione, e dalla applicazione del calcolo differenziale; La velocità istantanea esiste e può essere quasi sempre diversa da zero ; dipende dalla funzione s(t) che rappresenta l’andamento della posizione in funzione del tempo. Quindi la freccia si muove. Tale soluzione al paradosso rimase però ferma per duecento anni, in quanto nè Newton nè  Leibniz chiarirono mai dal punto di vista epidemiologico cosa fossero di preciso quelle quantità dx,dt soprannominate infinitesime. Ci volle tutta la sistemazione della matematica moderna, che dopo il paradosso di Russel si dimostrò inconsistente. E quindi, come proporre la soluzione di un paradosso, fondandosi su qualcosa di inconsistente? Proprio come per quei nuovi concetti matematici, il rigore è stato aggiunto alle definizioni di questi concetti fisici: luogo, istante, durata, distanza, e velocità istantanea. Le revisioni rilevanti furono fatte da Eulero nel XVIII secolo e da Bolzano, Cantor, Cauchy, Dedekind,Frege , Hilbert, Lebesgue, Peano, Russell, Weierstrass e Whitehead , tra gli altri, durante il XIX e l’inizio del XX secolo. Solo allora si poté parlare di “soluzione standard”, affidata al calcolo della velocità, in particolare quando Weierstrass introdusse il concetto di limite; la derivata divenne allora il limite della velocità media per \Delta t\rightarrow 0, cioè v=lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta S}{\Delta t}. Ma di questa storia ne riparleremo. Ricordiamo solo che il concetto di limite e di continuità si basa sugli studi di Dedekind sulle sezioni di 1° specie nei razionali, che ci assicurano la continuità del campo reale. E’ questo il naturale contesto in cui vengono collocati spazio e tempo; come punti del la retta reale.

In ogni caso, la freccia non è sempre ferma in qualsiasi istante; questo succede solo se s(t)=k, ovvero costante, cioè se non viene scoccata, oppure quando colpisce il bersaglio. Pertanto, i sostenitori della soluzione fondata sul calcolo della velocità concludono che il paradosso della freccia di Zenone ha un presupposto falso, ma cruciale, e quindi non è corretto..

Sembra che la ufficializzazione della confutazione del paradosso con la matematica fu dovuta a Russel.

Concludo con due osservazioni, una di carattere pratico, l’altra scientifica. Chi farebbe da bersaglio ad un abile arciere seguendo la teoria di Zenone? Non penso nessuno. Non possiamo neppure mettere in dubbio i calcoli di Newon, che ci fanno passare i satelliti sopra la testa. Quindi consideriamo le  teorie di Zenone come delle argute speculazioni  filosofiche, che poco entrano nella scienza.

 

 

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