RM 4):Relatività, Il problema della formulazione delle leggi della natura. **

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Le trasformazioni di Galileo-Newton

E’ inutile introdurre le trasformazioni di Lorentz, di cui tutti avremmo sentito parlare, senza prima citare, anche se molto velocemente, le trasformazioni di Galileo-Newton. Intanto specifichiamo bene  lo scenario: abbiamo due sistemi di riferimento in moto relativo a velocità costante. Potrebbero essere la barca di Galileo, o il famoso treno e la banchina di Einstein. In essi, le leggi della natura devono essere le stesse, essendo riferimenti detti “inerziali”. 

L’assioma del tempo assoluto.
L’assioma del tempo assoluto afferma il carattere invariantivo delle durate: gli intervalli temporali tra due eventi misurati da due diversi osservatori newtoniani in moto relativo coincidono sempre, indipendentemente dalla natura del moto relativo. In particolare, eventi simultanei in un riferimento sono simultanei in ogni altro riferimento: il concetto di simultaneità è dunque un concetto assoluto .

Le trasformazioni de Galileo

Il Cambio di coordinate.
Gli assiomi della cinematica newtoniana sono sufficienti a risolvere il problema delle formule di cambiamento di coordinate sullo spaziotempo. Due diversi osservatori attribuiscono a uno stesso evento coordinate diverse, diciamo (x, t) e (x’, t’) (per semplicità stiamo considerando uno spaziotempo bidimensionale). Queste coordinate, essendo riferite allo stesso evento, devono essere legate da relazioni che dipendono dal moto degli osservatori, che nello schema classico è necessariamente un moto rigido: la “piattaforma” dell’osservatore può infatti solo traslare . Nel caso di moto traslatorio, rettilineo ed uniforme, si ricavano le formule
di Galileo: 

dove u è la velocità del riferimento R’ rispetto al riferimento R. Per spiegare tali trasformazioni, usiamo il disegno:

i tempo, per quanto visto, è lo stesso in entrambi i sistemi di riferimento. Al tempo t=t’=0 le origini coincidono; al tempo t generico, O’ si sarà spostato a destra della quantità OO=ut, per cui per trovare x’ in funzione di x, dobbiamo sottrarre da x proprio ut, ottenendo:

Invarianza delle leggi della natura per trasformazioni di Galileo.

Facciamo un esempio; in un sistema (x,t) la formula dello spazio percorso nel moto moto accelerato è la seguente:

x=\frac{1}{2}at^{2}, dove abbiamo supposto per semplicità che la velocità iniziale sia nulla. Sappiamo che t=t’, e che x=x’+ut. Sostituendo otteniamo:

x'+ut=\frac{1}{2}at^{2};  e, di conseguenza:

x'=\frac{1}{2}at^{2}-ut; che essendo t=t’  diventa:

x'=\frac{1}{2}at'^{2}-ut' che è sempre  un moto accelerato anche in R’ .

Ci accorse invece, che se si prendono in considerazione le equazioni di Maxwell di propagazione dell’onda luminosa,  interviene ancora una volta la luce, a creare scompiglio, e le cose non tornano più. Per semplicità consideriamo come prototipo delle equazioni di Maxwell l’equazione delle onde  su una componente qualsiasi. Consideriamo il campo E = E(x, t), in un universo bidimensionale. L’equazione delle onde è:

Niente paura; non dobbiamo comprendere la formula, e non saranno fatti calcoli. Alla fine si confronteranno le formule nei due sistemi di riferimento. Quello che segue, è semplicemente il racconto di cosa successe. Poi, nel prossimo articolo daremo una dimostrazione formale delle trasformazioni di Lorentz.

Qui purtroppo bisognerebbe conoscere le funzioni di due variabili, in questo caso x,t e le derivate parziali. Ma potete credermi sulla parola. Se facciamo una sostituzione nella formula :

dei valori trasformati da un sistema all’altro:

ricaviamo:

vediamo che ci sono due termini in più, che prima non c’erano.

L’equazione delle onde non è invariante in forma rispetto alle trasformazioni galileiane. Sempre in quest’ottica, proviamo a tener conto dell’osservazione di Fitzgerald, immaginando che la relazione tra le coordinate dei due osservatori
sia :

se sostituiamo queste espressioni nell’equazione delle onde, otteniamo:

Notiamo che uno dei due termini aggiuntivi che avevamo con le trasformazioni di Galileo è scomparso, ma rimane pur sempre una correzione.

Le trasformazioni di Lorentz
Seguendo questa linea, Lorentz ha cercato una trasformazione di coordinate adatta per mantenere  tutta l’invarianza in forma. L’ha trovata correggendo l’equazione dei tempi e ipotizzando la trasformazione:

Come notiamo, Lorentz ha apportato due modifiche alle trasformazioni di Fitzgerald. Ha lasciato invariata la contrazione delle lunghezze, ma ha aggiunto una dilatazione dei tempi. Il fattore davanti a t’ (inserito per analogia) non bastava infatti per avere l’invarianza in forma: Lorentz ha dovuto anche introdurre il termine -\frac{v}{c^{2}}x x (che è a tutti gli effetti un tempo) nell’equazione dei tempi. Con questa nuova trasformazione si verifica sostituendo  che:

 

otteniamo quindi l’equazione delle onde nelle nuove coordinate, equazione che ha conservato intatta la forma che aveva come conseguenza delle equazioni di Maxwell. Le trasformazioni di Lorentz nascono proprio per mantenere questa invarianza in forma. Notare che il metodo di Lorentz è puramente empirico, e senz’altro ha richiesto prove e riprove, con calcoli tipo forza bruta.  E’ comunque giusto che tali trasformazioni portino il suo nome. Vedremo nei prossimi articoli come Poincarè e Einstein ricavarono in modo più elegante tali trasformazioni, basandosi su due principi fondamentali: il principio di relatività, e il principio di costanza della velocità della luce.

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1) Un nuovo argomento: la relatività matematica. Breve introduzione.

2)L’esperimento di Michelson e Morley : la soluzione di Fitzgerald

3)Lo spazio tempo

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