RM 3):Lo spaziotempo**

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Prima di addentrarci nel mondo delle trasformazioni relativistiche, è meglio spendere delle parole su un concetto che viene di continuo nominato in un qualsiasi testo di  relatività: lo spaziotempo.

Spesso una difficoltà nel comprendere la relatività speciale è legata al fatto di non essere familiari con certe notazioni o certi modi di dire che nulla hanno a che fare con essa, e riguardano invece nozioni generali di matematica. Cerchiamo ora di chiarire questi aspetti in relazione allo spaziotempo, che
ha nella teoria della relatività un ruolo analogo a quello del familiare spazio ambiente nella geometria elementare. Vedremo che in essa non ha più senso parlare di un tempo assoluto, che sia lo stesso in ogni punto dell’universo. Il tempo vedremo essere dipendente dal moto  relativo.  Un matematico non ha nessuna difficoltà a comprendere questi concetti, perchè al tempo sostituisce una coordinata qualsiasi nello spazio delle quaterne (x,y,z,w).  In matematica infatti, questa è una questione puramente geometrica. In uno spazio quadrimensionale (che notoriamente in geometria Euclidea non esiste), dovremo semplicemente dare una quaterna di numeri per individuare univocamente un punto. L’innovazione della teoria della relatività, è appunto il fatto che non basta dare le coordinate di un punto in un sistema, e delle coordinate in un altro in moto relativo; bisogna dare anche la coordinata temporale. Questo perchè due eventi  che avvengono contemporaneamente in un sistema, non sono contemporanei in un altro in movimento rispetto ad esso. Per semplicità, ci occuperemo di una sola coordinata spaziale; capirete che sia graficamente che algebricamente questo è più che sufficiente per mettere in evidenza questi concetti. 

Nella matematica, o meglio meccanica, ordinaria, esiste già il concetto di spazio tempo, legato ad un punto in movimento. In due dimensioni , bastano due coordinate (x,t) per  definire tale movimento. Nulla cambia nemmeno in relatività; per definire un moto si fa allo stesso modo.

una prima stranezza consiste nel fatto che in quasi tutti i testi di relatività si riporta la variabile indipendente t in ordinata invece che in ascissa  come nella figura sopra. Questa ovviamente una circostanza irrilevante, di cui possiamo dimenticarci, ma che ha subito confuso anche chi scrive.

Introduzione di una terminologia fondamentale.

Facciamo presente che un punto nello spaziotempo viene chiamato evento e una curva
nello spaziotempo viene chiamata world-line (linea di mondo o linea di universo). Di consueto, invece di t sull’asse temporale si usa riportare ct; in altri termini si misura il tempo mediante il corrispondente spazio ct percorso alla luce nel tempo t. Questo è assolutamente irrilevante (più comodo di
tutto è addirittura porre c = 1, cioè scegliere unità di misura in cui è c = 1).

linee di universo nello spazio tempo nel caso di una coordinata spaziale.

Spesso può essere utile rappresentare le linee in un contesto con due coordinate spaziali. Ciò rende più efficacie la rappresentazione grafica del “cono di luce”, che diventa un cono vero e proprio (con una dimensione spaziale sarebbe un triangolo isoscele).
Esempi con due coordinate spaziali sono riportati nella figura sotto.

A sinistra si ha una word-line descrivente il moto di una particella. A destra si ha una superficie bidimensionale, “il cono di luce” nello spaziotempo, cui corrisponde una famiglia di “fronti d’onda” (proiezioni delle “sezioni” t =cost sul piano x; y ) a diversi valori dei tempi t. Nel piano (x,y) il propagarsi della luce è fatta infatti di cerchi concentrici. Se questi cerchi li facciamo spostare al ritmo dello scorrere del tempo t,  la propagazione diventa appunto un cono. Perchè ribadire questo fatto, fra l’altro banale? Perchè qualsiasi movimento deve evolversi all’interno del cono di luce, che è la velocità massima di propagazione di un segnale.

Basta così; spero che abbiate compreso che lo spazio tempo altro non è che una estensione della geometria aggiungendo un altra coordinata: il tempo.

Benvenuti nello spaziotempo di Minkowski, niente meno che l’insegnante di matematica di Einstein al politecnico; di lui diceva: “Ah, quell’Einstein! Disertava sempre le lezioni!”  

 

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romeo
2 mesi fa

Anche io e te disertavamo molto spesso le lezioni… per giocare a biliardo e studiare fisica… “avanzata”… per due adolescenti degli anni ’70…