RM 2):L’esperimento di Michelson e Morley : la soluzione di Fitzgerald

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E’ un pò difficile capire perchè sia nata la  teoria della relatività se non si parla dell’origine della crisi che colpì la fisica a seguito dell’esperimento di Michelson e Morley.

Il principio di equivalenza (Galileiano) degli osservatori inerziali è rotto dalla scoperta di Maxwell che la luce è un’onda elettromagnetica. Come tutte le onde, storicamente si dedusse che essa doveva propagarsi in un mezzo (detto etere) rispetto a cui la terra è probabilmente in moto Questo etere fornisce dunque un sistema di riferimento privilegiato, nel quale la luce si propaga isotropicamente (in qualsiasi direzione) con velocità c. In ogni altro riferimento (ad esempio nel riferimento terrestre)la velocità della luce sarà necessariamente diversa a seconda della direzione di propagazione. Quindi la luce percorrerà distanze uguali in direzioni diverse in tempi diversi, e ciò comporterà necessariamente (a detta dei fisici) il verificarsi di fenomeni di interferenza. Michelson e Morley, nel periodo dal 1882-1888, hanno cercato di dedurre proprio da esperimenti di interferometria la velocità della terra rispetto all’etere. Per fare ciò hanno creato un’apparecchiatura come quella riportata in figura :

Il dispositivo P1 invia un fascio luminoso che viene parzialmente riflesso dallo specchio Q. Il raggio si spezza quindi in un raggio trasverso e in un raggio longitudinale, riflessi rispettivamente dagli specchi S1 e S2. I raggi ritornano poi allo specchio Q per confluire all’interferometro P2. Dato che la terra è in moto rispetto all’etere con una certa velocità  v, l’interferometro P2 dovrebbe rilevare frange d’interferenza. 

Per non entrare troppo nei dettagli fisici-tecnologici della apparecchiature usate che portarono uno dei due al premio Nobel,  consideriamo l’interferometro P2 solamente come uno strumento che ci dica se i  fasci luminosi hanno velocità diversa. Ora,  le due distanze, QS1 e QS2 sono entrambi uguali ad una certa distanza l, i tratti P1Q e QP2 sono in comune; vogliamo calcolare i tempi di percorrenza per i due diversi segnali luminosi. Per il confronto ci basterà dunque considerare il tratto trasverso (perpendicolare alla velocità v, in verticale nel disegno) e il tratto longitudinale (parallelo a v, in orizzontale nel disegno), entrambi di lunghezza l.

Raggio trasverso nel sistema di riferimento dell’etere

Per adesso noi non conosciamo nulla di relatività, quindi mettiamoci nei panni degli scienziati dell’epoca. La lunghezza l è indipendente dal fatto che  siamo nel sistema di riferimento dell’etere o in quello del laboratorio. Lo stesso dicasi per i tempi; è indifferente calcolare  i tempi di percorrenza in un sistema di riferimento o nell’altro, essendo il tempo assoluto; Occupiamoci per prima cosa di calcolare in che tempo viene percorso il tratto trasverso, e facciamolo nel riferimento dell’etere. Qui dobbiamo comporre le velocità, ed applicare il teorema di Pitagora. Più che delle velocità, vogliamo tener conto degli spostamenti ; ricordiamoci che nell’etere la velocità della luce è c in qualsiasi direzione, anche in diagonale. Inoltre il tempo per percorre il tratto QS1 è , essendo lo stesso tempo considerato nel sistema del laboratorio. Indichiamo con

il tempo di andata del raggio trasversale

il tempo di ritorno del raggio trasversale

 

il tempo totale di percorrenza del raggio trasversale.

da cui:

Analogamente per il tempo di ritorno:

 

per cui il tempo totale risulta:

il termine:

è detto fattore di Lorentz.

Quindi questo è il tempo che impiega il raggio trasverso. Vediamo adesso il raggio longitudinale, o parallelo.

Indichiamo con:

   il tempo di andata del raggio longitudinale

il tempo di ritorno del raggio longitudinale

il tempo totale di percorrenza del raggio longitudinale

In questo caso è facile calcolare la velocità , poichè le velocità si comportano come scalari anzichè come vettori, e quindi possiamo utilizzare il punto di vista del laboratorio per calcolare il tempo (ricordiamoci sempre che la velocità della luce è c nel riferimento dell’etere.). 

(infatti all’andata, c e v hanno la stessa direzione, e quindi vanno sottratte; al ritorno hanno velocità opposte e quindi vanno sommate)

sommando i due tempi:

Quindi i due tempi sono diversi. Ma questo non è possibile, perchè lo strumento in P3 non rileva velocità diverse, i tratti percorsi hanno la stessa lunghezza. Anche ruotando la piattaforma di 90 gradi, non si rileva alcuna interferenza tra i raggi luminosi. Come si spiega questo effetto?

La spiegazione di Fitzgerald

La coincidenza delle due durate può essere spiegata ripetendo formalmente i calcoli con l’accortezza di indicare le distanze longitudinali e trasversali con due valori diversi . Se imponiamo che:

(come del resto afferma l’esperimento)

tale fatto si spiega se ammettiamo che:

 

ovvero se . Ovvero la lunghezza si contrae nella direzione del moto.

Fitzgerald, nel 1892, conclude che il moto rispetto all’etere deve comportare un fenomeno di distorsione a livello degli elettroni (che compongono la materia, che interagiscono con forze elettromagnetiche le quali riconoscono l’etere come osservatore privilegiato) per cui ogni regolo si contrae nella direzione longitudinale del fattore di Lorentz (contrazione delle lunghezze).
Successivamente, Einstein e Poincarè  risolsero il problema della contrazione analizzando la simultaneità in sistemi in moto relativo;  la spiegazione di Fitzgerald può fare al momento attuale sorridere, ma attenzione! Fu ripresa in un paradosso relativistico riguardante due astronavi collegate da un filo niente meno che da John Stewart Bell , un fisico che scrisse uno dei teoremi più importanti della meccanica quantistica.  Torneremo un giorno su questo importante paradosso, e sul modo in cui Bell concepiva la relatività. Nel prossimo articolo vedremo che dal punto di vista matematico, ossia di invarianza di forma delle equazioni che rappresentano fenomeni fisici, non basta la soluzione proposta da Fitzgerald; oltre alla contrazione delle lunghezze bisognerà introdurre una “dilatazione” dei tempi. E’ quello che fece Lorentz.

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1) Un nuovo argomento: la relatività matematica. Breve introduzione.

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romeo
2 mesi fa

Io credo che uno degli scogli maggiori che deve affrontare chi si approccia al linguaggio matematico è il “formalismo”: per parlare in “matematichese” bisogna approppriarsi della grammatica, oltre che dell’analisi logica delle proposizioni… cosa che risulta molto più facile se usiamo un linguaggio discorsivo, scritto in qualsiasi altra lingua. Il trasferimento concettuale delle percezioni effettuali in una forma standardizzabile e comprensibile è stato e sarà un’opera di difficile realizzazione, forse per questo stiamo assistendo in quest’epoca “moderna” ad un ritorno alla simbologia! Di nuovo però c’è la possibilità di usufruire in modo accessibile a molti, della “dinamica” informazionele che aiuta il processo di elaborazione concettuale nel recepimento delle informazioni. Una cosa è leggere le formule un’altra è constatarne l’effetto in una realtà aumentata.