Goniometri, frazioni, automi e formica di Langton

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Goniometri, frazioni, automi e  formica di Langton 

 

Oggi la prendiamo un po’ alla larga, ma essendo la giornata del Goniometro, è giusto che qualcuno ne parli.

Non sapevate che oggi è la giornata del Goniometro?

 

Bene, ora lo sapete, anche se Google non gli ha fatto il doodle e alla TV non ha detto nulla nessuno.

Chi lo ha deciso? L’ho deciso io, naturalmente, stufo di vedere che si inventano la “giornata del Fusillo integrale” o la “giornata dell’alga Spirulina”, e del Goniometro non si ricorda nessuno.

Ebbene, prendete il goniometro, compratevelo o fatevelo prestare da vostro cognato, poi mettete in sottofondo il vostro CD preferito, fate una bella circonferenza col compasso, tracciate un diametro di quelli che passano per il centro e posate delicatamente il goniometro in modo che il suo centro si trovi sulla circonferenza e la sua linea di base sia sovrapposta al diametro.

Ora segnate un angolo di 120°, tirate una bella linea dal punto in cui si trova il centro del goniometro fino ad intersecare la circonferenza, disegnando la corda, e domandatevi cosa succederebbe se la circonferenza riflettesse quella linea come uno specchio riflette un raggio di luce, fino a toccare di nuovo la circonferenza e infine rimbalzare ancora al punto iniziale.

Certamente avrete visto con gli occhi della mente il triangolo equilatero che verrebbe percorso infinite volte dai fotoni del raggio luminoso.

Questo succede perché 360/120 = 3. I punti colpiti sono sempre quei tre, ad ogni giro.

Ma se l’angolo non fosse un sottomultiplo di 360°? Succederebbe che i punti di rimbalzo continuerebbero a variare ad ogni giro e (forse) il raggio non tornerebbe mai sugli stessi punti di circonferenza già toccati. Oppure no? Magari potrebbe succedere che dopo tanti giri vada a finire nel primo punto e poi ripeta ciclicamente il percorso già fatto. Chi lo sa?

Pensandoci solo un momento, verrebbe da dire che se il rapporto 360°/Angolo di rimbalzo ha un numero finito di decimali, il ciclo si ripeterà dopo un certo numero di giri. Ad esempio, se traccio l’angolo di 160° e divido 360°/160° ottengo 2,25. Ossia 2 giri e un quarto. Allora, ripetendo questo valore per 4 volte, il “quarto di giro” risulta moltiplicato per 4 e alla fine il raggio avrà fatto 8 giri più un giro intero, in tutto 9 giri. Quindi dopo 4 cicli, che sono 9 giri, il raggio torna a visitare tutti i punti già toccati e questi punti sono in tutto 9.

Certo che se l’angolo, invece di 160° fosse 63°, vediamo… se con la calcolatrice faccio 360°/63°, viene uguale a 5,7142857142857142857172857 , magari lo scrivo 5,(714285) così si capisce meglio che mi sono accorto che quei decimali si ripetono in continuazione. Ma se quei numeri si ripetono per sempre, il raggio continuerà a sbattere su punti sempre diversi, senza mai ritornarci sopra.

In ogni caso, un numero periodico a volte ha anche un antiperiodo, come se, prima di decidersi, si guardasse un po’ intorno, come certi scapoli prima del matrimonio.

Ecco un esempio di numero periodico che presenta un antiperiodo: 8,43555555555 o se volete: 8,43(5).

Se ne possono scrivere quanti se ne vogliono, siamo sicuri che esistono sempre. Uno si mette lì e scrive il numero che vuole, con l’antiperiodo e il periodo. Garantito che esiste.

Ma da quale rapporto nasce uno di questi numeri? Che forma deve avere la frazione che consente di generarlo? Quale numero potrà essere il numeratore e quale il denominatore?

E’ possibile scoprirlo.

Per il numero 8,43(5) ad esempio:

8,43(5) = ( 8435-843 ) / 900 = 7592/900

Il metodo per risalire alla frazione originaria esiste, non è segreto e trovate pure la dimostrazione in ogni dove, su internet. Non chiedetemi di copiarla qui per voi.

Il risultato della divisione è qualcosa di totalmente deterministico perché la frazione di origine detta la regola che genere la sequenza periodica, magari preceduta dall’antiperiodo, e questa regola potremmo considerarla come la personalità profonda di un individuo, che persiste ed emerge in continuazione.

Visto tutto ciò, siamo pronti per parlare di formiche, cominciando dalla formica di  Langton, che dovete assolutamente conoscere.

A proposito, non è curioso che anagrammando il nome della formica di Langton si ottenga Long ant ?

La formica di Langton, nata negli anni ‘80, è un esempio di automa cellulare guidato da poche regole, solo due, ma pur essendo così elementare, esibisce tutte le peculiarità di un sistema che ostinatamente riesce a portare a termine il suo obiettivo, indipendentemente dalla complessità che può incontrare.

Questa formica di Langton ha una “idea fissa”: quella di costruire una specie di autostrada, e niente riuscirà ad impedirglielo, neppure il fatto di porre sul suo cammino ostacoli da aggirare. Dopo un certo tempo avrà realizzato, con solo due semplici regole di spostamento, le condizioni per tracciare una struttura altamente organizzata e lineare.

Lo spazio bidimensionale in cui si muove il caparbio insetto è costituito da una matrice di celle, una griglia di quadretti su cui può spostarsi in ognuna delle 4 direzioni cardinali ( su giù sinistra destra).

Le celle possono essere bianche o nere, e cambiare colore un numero indefinito di volte.

Prima regola: se la formica di Langton è su una cella nera,

gira a destra di 90°,

inverte il colore della cella,

si sposta in avanti di una cella.

Seconda regola: se la formica di Langton è su una cella bianca,

gira a sinistra di 90°,

inverte il colore della cella ,

si sposta in avanti di una cella.

Assolutamente elementare, soprattutto se alla partenza le celle sono tutte dello stesso colore.

Lo stato delle caselle, dopo un certo tempo, appare come in questa figura:

Percorso della formica di Langton

Percorso della formica di Langton

Ecco una animazione che mostra le tracce lasciate dalla formica di Langton in quattro momenti diversi del suo girovagare, nello spazio a due dimensioni delle caselle a sua disposizione.

 

Quattro momenti del percorso iniziale della formica di Langton

quattro momenti del cammino della formica di Langton

Nella animazione potete constatare che il suo moto iniziale, apparentemente caotico, perdura per circa 10.000 mosse (come fosse un lungo antiperiodo), poi ineluttabilmente si forma un loop periodico di spostamenti che, nella loro composizione, generano una configurazione estremamente ordinata e prevedibile, una vera autostrada.

Il fatto più sorprendente è che anche nel caso in cui lo spazio iniziale contenga celle bianche e nere distribuite in qualsiasi modo, sembra che questa figlia di  imenottera di una formica di Langton, riesca sempre a realizzare il suo obiettivo finale di costruzione della autostrada. Al momento si tratta solo di una congettura perché fino ad ora non è stata trovata una dimostrazione formale.

Anche se provate a creare una interferenza dinamica, mettendo in azione più formiche nella stessa zona, il reciproco disturbo non impedisce che le loro “autostrade” riemergano in continuazione.

A questo indirizzo    https://rosettacode.org/wiki/Langton%27s_ant    trovate una sterminata collezione di tipi di formica di Langton, generate in tutti i linguaggi di programmazione possibili. Con una manciata di istruzioni, si riesce a raffigurare indefinitamente la traiettoria degli spostamenti.

Esistono anche molte varianti alle regole base che introducono una complessità maggiore, con celle il cui colore varia tra molti possibili, dando origine a schemi complessi: trovate diversi esempi in questo video     https://youtu.be/1X-gtr4pEBU

Certamente vi sarà capitato qualche volta di vedere lunghe colonne di formiche ( non stiamo parlando di  una formica di Langton ma di quelle vere) che agiscono come guidate da una mente collettiva, senza perdere la direzione del loro obiettivo, anche se vengono in significativamente e ripetutamente disturbate in vari modi. Non vi sorprenderà quindi sapere che il loro comportamento risulta più razionale ed efficiente di quello programmato da un computer per risolvere un problema di ottimizzazione.

In questo articolo:       https://tg24.sky.it/scienze/2018/08/21/formiche-robot-scavi-insetti      si parla della loro capacità organizzativa, comparata a quella di una squadra robotica che svolge lo stesso compito (scavare una galleria).

C’è da domandarsi se all’origine di questa evidente “intelligenza collettiva” non vi siano altro che poche, semplici regole, osservate rigorosamente da ciascun individuo, come fa ciascuna formica di Langton di buona famiglia.  Ma c’è anche da domandarsi chi mai ha stabilito quelle regole, se si tratti del risultato di un lunga evoluzione della specie, sedimentato nell’istinto individuale, oppure sia frutto di una regia che opera sui singoli comportamenti, comunicando le specifiche istruzioni a ciascun componente del gruppo.

Comunque sia, da questo intreccio di semplici regole emerge un tessuto complesso e difficile da descrivere con formule “tradizionali”. La descrizione di un fenomeno trova una forma nuova, insospettabilmente semplice, attraverso le interazioni di attori elementari: gli “automi cellulari”.

Traendo ispirazione da questi esempi, come la formica di Langton,  è possibile sviluppare un approccio completamente diverso da quello tradizionale per rappresentare fenomeni fisici complessi.

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